发新帖  新投票  回帖  关闭侧栏
9398个阅读者,22条回复 | 打印 | 订阅 | 收藏
隐身或者不在线

发表时间:2011-11-3 16:46

无理数测度问题的真相告白于天下![原创]



蓝天艳剑 发表在 科学探索 华声论坛 http://bbs.voc.com.cn/forum-148-1.html


  

无理数测度问题的真相告白于天下!



  我对实变函数教科书上[0,1]无理数测度为1的结论表示质疑,就在网上连续发了七个帖子,由于没有从数学角度上论述,有些数学工作者就不予承认,反而认为是我搞错了。在网友指点和指指点点的启发下,我有了新的认识,今天我就在数学式子上进行论述,让天下人能够清楚地、彻底地认识到教科书上无理数集测度的错误性。

  无理数测度是怎么回事呢?教科书上没有写清楚,我只得大概地进行说明,在区间[0,1]中分布着有理数和无理数,由于区间[0,1]有长度是1,那么就有这样的问题提出:有理数占了多少长度,无理数占了多少长度。教科书上不讲长度,而讲测度,结论是有理数测度为0,无理数测度为1.当然,我这种理解可能不大正确,但是,这并不妨碍以下的论述。

  最近,我在研究中发现点没有长度属性,而线有长度属性,于是,就得出结论:线不是由点构成的,而是由具有连续的点组成的点集构成的。这个结论很重要,我就是用这个结论来解开无理数测度之谜的。

  一、从单点集角度看线段长度与从区间角度看线段长度是两回事情

  在看待线段长度时,由于点没有长度属性,就可以得出“从点上看不出线段长度”的结论,就是说从单个点的角度上讲,再多的点(包括不可列个点)也不能构成长度。在这里需要注意到单点集与多点集的区别,单点集与一些多点集合的性质不同,比如,单点集没有长度性,而区间点集就有长度性。由于人们很容易把单点集与具有长度性的点集搞混淆,我在这里就多说两句。点、包括不可列个点都没有长度属性,并不是说所有的点集都没有长度属性,这是因为区间是点集合,它就有长度属性。从中我们可以看得出:在看待线段的长度性时,存在着两种角度看问题,一种是从单点集的角度看问题,另一种是从具有长度属性的点集合角度看问题。从单点集的角度看问题时,看不出线段的长度性,只有从具有长度属性的点集的角度看问题,才能看出线段的长度性。或者说在看待同一线段时,存在着多种不同的角度,特别的,存在着从单点集角度看问题和从区间角度看问题之分。例如,对于区间[a,b]的长度,如果从点的角度看,由于点没有长度属性,所以就看不出[a,b]的长度性;如果从区间角度上看,它就有长度属性,其长度为b-a。

  为什么会这样呢?这是客观存在,是天生俱来,是事物的本来面目,这就象人们看一个物体,有的角度的视线被挡住了,看不到;有的角度的视线没有被挡住,就能够看到。这就是说,线段不是由点构成的,而是由特殊的点集构成的,在看待线段的长度时,不能从单点集的角度进行,必须从具有长度属性的点集合上进行。值得提出来的是,单点集合角度与具有长度属性的点集合的角度之间的过程不是渐进过程,而是个跳跃过程。也就是说单点集合角度与具有长度属性的点集合的角度是不搭界的,你是你,我是我,你我毫不相干,完全是两回事情,不能混为一谈。

  二、勒贝格数点集测度定义具有矛盾的一面

  前人(数学家)忽视了点没有长度性,误认为线段是由点构成的,于是就从单个点的角度上来考虑线段长度性。为什么这么说呢?我们从定义上就可以看得出来,在勒贝格数点集测度定义下,区间[a,b]有测度,且测度为b-a,是区间的长度;同时,单点集也是可测的,且测度为0.这就说明勒贝格数点集测度定义具有从单点集看线段长度的成分。

  正是由于区间和单点集都是可测的,就形成了两种角度看问题,然而,这两种角度看问题却不会统一,就是说用这两种角度看区间的测度时会产生乱象,是自相矛盾的。怎样理解呢?比如,对于区间[a,b],从区间角度看,它的测度就是b-a,但是,从单点集角度看,由于区间[a,b]上每一个点测度都是0,这样,[a,b]的测度就是无数多个0相加,在这里就有这样的问题提出,这无数个0相加的结果是什么呢?我认为应该是0,就是说再多的0包括不可列个0相加,结果还是0.从这种意义是讲,勒贝格数点集测度定义就是自相矛盾的。

  有人会讲,无数个0相加不会等于0,理由是[a,b]上无理数集的测度会大于0.这是这么回事呢?原因是人们把线段看成是由点构成的,在这种认识下,人们就自然会提出这样的问题:既然无数多个0相加结果还是0,那么,区间的长度是怎么形成的呢?一方面区间[a,b]的长度为b-a,一方面区间[a,b]的长度为0,这不就矛盾了吗?对于这两个问题,我这样来回答,前面已经讲了,看待区间长度不能从单个的点上进行,点没有长度性,区间的长度不是由单个的点构成的,而是由具有长度属性的点集合构成的。也就是说我们不能从单个的点上来看待线段的长度,需要从具有长度属性的点集合上来看待区间的长度。从单点集的角度上看,无理数的测度也是等于0的,这是其一。其二,这里的矛盾并不是无数个0相加等于0所带来的,而是由勒贝格数点集测度定义带来的。这个矛盾也说明看待区间测度时,不能同时用两种角度来进行。

  三、无理数的测度等于1是在同时用两种看测度的角度下得到的

  为了把问题看得更清楚,我们来看[0,1]上无理数集测度为1是怎么得来的。

  教科书上在证明[0,1]上无理数集测度时有以下一个环节:[0,1]测度=[0,1]上有理数集测度+[0,1]上无理数集测度。

  我们对此进行分析:如果从单点集的角度看测度时,那么它就是0=0+0的形式。这时,从数学理论上来看就没有一点问题,或者说从数学理论上看,一点问题也都找不到。如果从区间角度上看测度时,那么它就是左边为1,右边没有意义,等式就不能成立,因为右边不包含区间。

  由此可以看得出,不论是从单点集的角度上看测度,还是从区间角度上看测度,都得不到[0,1]上无理数集测度为1这个结论。

  那么[0,1]上无理数集测度为1的结论是怎样得出来的呢?是这样的,等式左边是从区间角度上看测度,得出[0,1]测度为1;等式右边是从单点集的角度看测度,得出[0,1]上有理数集测度为0。然而,[0,1]上无理数测度不能直接算出,人们就从等式上用减法得出[0,1]上无理数测度为1. 其实,这个时候的等式是1=0+0的错误式子,这个错误的式子就是由勒贝格数点集测度定义本身的矛盾带来的,就是从区间看测度与从点上看测度的结果不会一致的矛盾所带来的。

  由此可见,在勒贝格数点集测度定义下,[0,1]上无理数测度为1就是错误的。

  可能有人会问,就算[0,1]上无理数测度为1是错误的,那么它的正确答案是什么呢?我的回答是,由于勒贝格数点集测度定义的自身矛盾,它没有正确的答案。如果脱离勒贝格数点集测度定义、就是从客观精神上讲,无理数集与长度无关。线段的长度性是由有理数与无理数组合在一起而形成的,把区间分成有理数集和无理数集就会破坏长度属性。

  在这里需要说明的是,尽管勒贝格数点集测度定义存在矛盾,但是在实际应用时是有意义的,这是因为人们在运用它时、总是从区间角度上来看待测度的,对于一些少数“坏”点,在实际应用当中,可以把它的测度作为0来处理。

  

[本帖最后由 戴格里 于 2011-11-4 14:04 编辑]

本帖助威记录

戴格里 +1
看了楼主的帖,神马都是浮云
2011-11-04 14:04:39
总计:魅力1点 助威1查看所有助威>>
隐身或者不在线

回复时间:2011-11-3 17:18
引用:以下是品味abc在 2011-11-03 17:10:59 发表的:

佩服楼主,有锲而不舍的创新精神,这是中华民族的骄傲,这是炎黄子孙的骄傲。有了这种精神,什么人间奇迹不能创造呢?


谢谢,这算不了什么,习惯而已。还望网友提出不同的看法。

隐身或者不在线

回复时间:2011-11-3 18:04
引用:以下是往高处在 2011-11-03 17:18:27 发表的:

这个经典知识被楼主彻底的推翻了。大中小学教材都要改版了。祝贺楼主取得成功。

谢谢。是否成功还要得听听更多网友的意见。

隐身或者不在线

回复时间:2011-11-3 18:39
[qt]引自: 3 楼: 虞思军 关注  于 2011-11-03 18:43 发表
只要一个数有特定物理量参照大小的,就是合法的运算数。虚数、无穷大、无穷小等等数尽管是无理数,但是约定该数具备物理量前提的时候,就是合法的运算数;就可以用来同时运算物体反面的立体形状;使计算机不需要等一面算好后,再去计算反面。数学也是有一些物象定义和释义系统理论的!教科书里一般不会讲解该层次内容!讲解后,大家就不会掉进数学陷阱了;数学家也就失去权威了!
[/qt]

谢谢,你讲得很有道理,我过去在大学里就是稀里糊涂学习数学的,可以说连皮毛都没有学到。

隐身或者不在线

回复时间:2011-11-3 21:31
第 16 楼 erganzi 2011/11/3 19:41:43 的原帖:
你认为“不可列个测度0相加,其和一定为0”,是基于一个并不成立的前提:测度满足【不可列可加性】。
从测度的定义出发,只能得出测度的【可列可加性】,并不能得出测度的【不可列可加性】。要得出后者,有两个前提:

其一,要定义【不可列可加性】,不可列个数相加,其和究竟表示什么?这需要“定义”,而不是靠直觉想当然。即使【可列个数】的和,也是通过极限来定义的,并非你想当然一直加下去,对于非绝对收敛的级数,不同的加法顺序会导致不同的结果;其二,要证明通过测度的定义能推出测度满足“不可列可加性”。

所以,你认为“不可列个0相加,其和一定为0”,虽然符合直观,但从数学的角度而言,只有在定义了某种【不可列可加性】后,它才有意义,它并非天然正确的,并非必须满足的公理。测度定义就根本不具备【不可列可加性】,从这个角度来讲,测度定义违反了你的直观,但它确实是逻辑一致的。

给你出一道思考题:要确保“不可列个0相加,其和一定为0”,该如何”定义”不可列个数的加法?


谢谢,你的这席话,讲得很实在,是一个很有理论素养的人讲出来的话。

我是这样想的,“不可列个测度0相加,其和一定为0”它本身就是公理。

公理是最基础的原理,它是通过从现实现象中概括出来的,是没有办法证明的,只能举例说明,它只要符合所有的

相关实际就可以。所以就不好定义不可列个数的加法。

[本帖最后由 戴格里 于 2011-11-4 14:07 编辑]

隐身或者不在线

回复时间:2011-11-3 21:54
第 23 楼 读书狼 2011/11/3 20:15:43 的原帖:
粗略地看了看“測度論”啊,
——以前沒接觸過“測度論”。

我有一個感覺啊。
覺得“測度”就是為了繞開“點是沒有長度”的邏輯悖論的。
只是彎子繞得有點兒大,
而且也沒解決什么實際問題啊。哈哈哈。

谢谢,原来你早就发现“線不是由點構成的”,我才是最近发现的。现在有一个问题,就是教育部门为什么不对教科书进行更改呢?难道让“线是由点构成的”错误知识继续误导下去,或许是时间上来不赢,或许他们正在考虑这个事情。
关于无理数测度问题,它弄到我几十年都不舒服,一想到它就感到没有一点道理。

隐身或者不在线

回复时间:2011-11-3 22:09
第 24 楼 读书狼 2011/11/3 20:24:08 的原帖:
无理数测度是怎么回事呢?教科书上没有写清楚,我只得大概地进行说明,在区间[0,1]中分布着有理数和无理数,由于区间[0,1]有长度是1,那么就有这样的问题提出:有理数占了多少长度,无理数占了多少长度。教科书上不讲长度,而讲测度,结论是有理数测度为0,无理数测度为1.当然,我这种理解可能不大正确,但是,这并不妨碍以下的论述。
——————————————————————————————
結合“戴德金分割”就好理解了。

線段上隨便“分割”一下,或稱“截斷”一下,
那個“分割點”,
是有理數的概率為“0”;
是無理數的概率為“1”(百分之百)。哈哈哈。
——等價于“連續統假設”。嘿嘿。


谢谢,这是误解,因为怎么分割也割不到点上去。只能割到线上。看来,线是由点构成的认识已经给人们形成了不少错误知识。

隐身或者不在线

回复时间:2011-11-3 22:34
第 22 楼 读书狼 2011/11/3 20:11:41 的原帖:
“線不是由點構成的”
——總之呢,這個結論是邏輯上顯而易見的。

可問題是,“解析幾何”、“分析數學”已經“沿著錯誤的道路越走越遠了”。
要糾正這一點,難道顛覆整個“解析幾何”、“分析數學”麼?
——有什么“好處”麼?能解決什么數學難題麼?
沒有好處,或好處不夠大,為什么要“顛覆”?哈哈哈。

慢慢想吧,
我相信,要是想通了,一定是偉大的開拓。嘿嘿。


谢谢。我不是这样想的,纠正线是由点构成的并不意味着要颠覆解析几何、分析数学,因为大多少知识是按照理性进行的,也就是说很多知识并不从点上推导出来的,而是从区间上推导的,否则,人们早就会发现这个错误。

隐身或者不在线

回复时间:2011-11-3 22:55
最短的线不是点,而是区间,是无限小的区间,这就与最小的正数是无限小的数一样。客观精神就是这样的,人们在其它方面能够找到相应的神气,决不是独一无偶的。

人们在考虑线段的长度时应该从区间是着手,决不能从点上进行,否则,非出乱象不可。教科书上在无理数测度问题上,就是从点上进行的,这样不会乱象才怪呢?

隐身或者不在线

回复时间:2011-11-3 23:06
引用:以下是风的线条在 2011-11-03 22:36:41 发表的:
点的长度是0只是一种通俗的说法,把点的长度看做是无穷小量更合理,更专业。


谢谢。微积分实质上是用小量进行的,而不是点。问题是在实变函数里推算无理数测度时运用的是点,这样就出了乱象。

隐身或者不在线

回复时间:2011-11-4 07:53
第 37 楼 超大统一易 2011/11/3 23:18:44 的原帖:
不错

谢谢。在考虑无限个0之和等于0时,一些人会认为这与区间有长度有矛盾,我过去也是这样认为的。

这种认为的内容是:区间是由点构成的,区间的长度就自然是由点的长度构成的,如果区间上所有点的长度之和等于0,就意味着区间的长度为0,这样就产生了矛盾,因为区间是有非0长度的。

其实,这种认识是错误的,因为区间不是由点构成的,点也没有长度性;区间的长度是由具有长度性的点集合构成的,区间长度与单个的点是不搭界的。

隐身或者不在线

回复时间:2011-11-4 08:10
我希望看到不同的意见,但是,这个意见是在理的意见。对于在理的意见,我会接受的,而且会很快地改变自己的观点;对于不在理的意见,自然就不会接受。在科学探讨当中,最要讲究理性,一切冷嘲热讽都是无意义的,我不会去理睬他们,因为毫无意义。

隐身或者不在线

回复时间:2011-11-4 09:10
qt]引自: 6 楼: 虞思军 关注  于 2011-11-03 19:17 发表
需要注意的要点,在于无穷大、无穷小等数在实际运算中,只能在理想公式及推导式里出现;而实际运算,会超出计算机计算能力;无穷大、无穷小就必须替换成计算机计算能力以内的数进行计算;按精度需求替换为相差一个级数级的数值进行实际运算。


修正一下纰漏:
需要注意的要点,在于无穷大、无穷小等数在实际运算中,只能在理想公式及推导式里出现;而实际运算,会超出计算机计算能力;无穷大、无穷小就必须替换成计算机计算能力以内的数进行计算;无穷大要按精度需求替换为精度的倒数相差一个级数级的数值进行实际运算;如果需要亿分之一精度,无穷大就要替换成十亿进行运算。无穷小就要替换成十亿分之一进行运算。

[/qt]
谢谢。正是因为如此,尽管勒贝格测度存在矛盾,但是,在实际运用当中不会受到影响。现在的问题是在推算无理数集测度时就受到了影响,产生了乱象。勒贝格测度矛盾的根源在于把有长度属性的区间与没有长度属性的点混为一谈。

隐身或者不在线

回复时间:2011-11-4 10:39
第 44 楼 erganzi 2011/11/4 9:39:46 的原帖:
我是这样想的,“不可列个测度0相加,其和一定为0”它本身就是公理。
公理是最基础的原理,它是通过从现实现象中概括出来的,是没有办法证明的,只能举例说明,它只要符合所有的
相关实际就可以。所以就不好定义不可列个数的加法。
————————————————————————————————————————————————————————
————————————————————————————————————————————————————————
在现实中,连宇宙中所有原子个数都是有限的,你根本无法经验到“可列个”东西,更无法经验到“不可列个”东西,怎么可能从现实中概括?实际中没有,又如何“符合所有的相关实际”?这些都是你想当然的臆测。

“可列、不可列”都是抽象的数学术语,你只是把现实中概括的对有限事物的经验,如“有限个0之和还是0”,想当然地认为它在无限的“不可列”中也必然成立。但在有限中成立的东西,在无限中不一定成立:如有限个数,不管加法顺序是什么,都是同一个和;而无限可列个数,不同的加法顺序,可能导致不同的和;有限集合的真子集,其元素不可能与此有限集合的元素形成一一对应,而无限集合与其真子集就可以形成此一一对应。

如果你不定义“不可列个数的加法”,你如何将不可列个0加起来?如何操作,靠直觉吗?但“不可列”本身是数学概念,而不是现实中的东西,只要涉及到“不可列”这样的抽象数学概念,当然要按数学的方式去处理它。而在数学中,不可列就是个频频违反直觉的怪物,可以参考我上面提到的例子。

【用到非直观的抽象数学概念,又完全抛开数学概念的定义,只是简单地根据直觉去下断言,是你矛盾的根源。】

那么,“不可列个测度0相加,其和一定为0”究竟是否成立呢?可以成立!
你可以定义“蓝氏测度”,使之满足“不可列可加性”,或者,你可以更狠,像你说的一样,直接将其作为“蓝氏公理”。就像我原来提到的:这么做,完全没问题!关键是你要保证“蓝氏测度论”的逻辑一致性。但要注意的是:即使“蓝氏测度论”是逻辑一致的,尽管你定义的“蓝氏公理”在现有测度论中并不成立,还是不能说明现有测度论是错误的。因为现有测度论在它定义的前提下,是逻辑一致的,而它的定义并不保证其满足“不可列可加性”。这就像欧式几何与非欧几何的情形,它们的平行公理是相互矛盾的,但它们都是正确的,只是适用范围完全不同。

嘻嘻,再不懂,俺就要崩溃了。。。



十分感谢。可以这样说吗?我们之间的矛盾焦点在于,我认为勒贝格测度定义下,区间测度与单点集测度不一致,不能统一起来;你的认为恰恰相反,就是区间测度与单点集测度是一致的,可以统一起来。

下面我阐明自己的看法。
一、区间测度是区间的长度,而单点集测度没有几何意义。
二、把区间测度与单点集测度看成为统一时,就有把区间看成是由点构成的之嫌。
三、教科书上是在“区间测度与单点集测度是一致的”这个前提下、而得出无理数集的测度会大于0.就是说如果没有这个前提,就不可能得到无理数集的测度会大于0,这样,人们就不会认为无数个0相加会大于0.
四、对于不可列数相加定义,不单单是我定义不出来,现在全世界的人都定义不出来。

这样,无理数集测度问题就可以转化为、区间测度与单点集测度能否统一上。具体是:我认为,对于【a,b】,如果从单点集测度上计算,其测度为0.不同的意见是对于【a,b】,如果从单点集测度上计算,其测度为b-a.
我认为如果不借助无理数测度(这个测度是有问题的),就没有办法从单点集测度这个角度来证明【a,b】的测度为b-a,因为它本身就是错误的。

隐身或者不在线

回复时间:2011-11-4 10:57
第 47 楼 precision73 2011/11/4 10:50:10 的原帖:
把点叫成线的分割.
不就可以了?

谢谢。点与线不在同一个范畴里,点是点,线是线,从线上割不出点来,需要通过质变才能从线上产生出点来。

隐身或者不在线

回复时间:2011-11-4 11:15
第 51 楼 precision73 2011/11/4 11:09:45 的原帖:
我是说,把那个分割叫点,成不?

谢谢。你可以把它教成“点”,但是这样的“点”与无理数测度问题中的点就不是一回事。

隐身或者不在线

回复时间:2011-11-4 11:45
转至第59楼第 59 楼 喷钱兽 2011/11/4 11:28:57 的原帖:
实际上无穷个0相加不一定是0。无穷个收敛于0的柯西序列之和可以是任何的结果。

谢谢。你终于说出了一句像样的话。我承认“无穷个收敛于0的柯西序列之和可以是任何的结果”,但是,要注意到这里是“无穷个收敛于0”的数。我讲得是无穷个0. 收敛于0与0是两回事。

隐身或者不在线

回复时间:2011-11-4 12:53
第 61 楼 反对伊战 2011/11/4 11:39:18 的原帖:
正是由于区间和单点集都是可测的,就形成了两种角度看问题,然而,这两种角度看问题却不会统一,就是说用这两种角度看区间的测度时会产生乱象,是自相矛盾的。怎样理解呢?比如,对于区间[a,b],从区间角度看,它的测度就是b-a,但是,从单点集角度看,由于区间[a,b]上每一个点测度都是0,这样,[a,b]的测度就是无数多个0相加,在这里就有这样的问题提出,这无数个0相加的结果是什么呢?我认为应该是0,就是说再多的0包括不可列个0相加,结果还是0.从这种意义是讲,勒贝格数点集测度定义就是自相矛盾的。

---------------------
勒贝格测度只有可数可加性,不可数个数(即使都为零)也不能相加。

谢谢,你说得有道理。我退一步来说,就算无穷个0相加不等于0,也不能说从明区间角度看测度与从单点集角度看测度是一致的,或者是统一的。而教科书上是在把它们看成是统一的这个前提下、而得出无理数集测度为1. 在前提条件的正确与否还没有确定下来的情况下,就由这种有问题的前提条件得出结论来,这样的结论还会有正确性吗?我们至少可以认为教科书上证明无理数测度为1是没有道理的,是不符合逻辑的。因此,这个结论是有问题的。
不知道我的这个观点是否存在问题。

隐身或者不在线

回复时间:2011-11-4 14:06
锲而不舍的创新精神,其利可断金~~!楼主加油!




----------------------------------------------
流水遇到断崖,方能显现出瀑布的壮观;雄鹰只有飞上蓝天,才能见到大地的辽阔!
——————————————————————————————
科学探索版的主题:在通往神秘未知世界的道路上,让我们携手并进。共同探索自然奥秘,普及科学知识,破解历史谜团,发现宇宙奥秘,保护生态环境。
——————————————————————————————
华声科学探索交流群群号:25470301,本群已升级为高级群,人数上限200人。欢迎爱好科学探索的朋友们加盟与指导,感兴趣的朋友请速速申请~~!
隐身或者不在线

回复时间:2011-11-5 08:46

原帖由 戴格里 于 2011-11-4 14:06 发表
锲而不舍的创新精神,其利可断金~~!楼主加油!


谢谢。实变函数教科书在无理数集测度上、百分之百是错误的。我现在面临的最大困惑是那些数学人接受不了我的新观点。我曾今讲过、中国教育忽视了智育,只讲知育不讲智育,结果导致着培养出一大批庸才。现在看来,庸才们不但自己难于创新,还会阻碍别人创新,因为他们会对创新进行冷嘲热讽、百般刁难。我这样讲可能会刺痛很多人,但是,这是客观事实。我希望中国教育人对此问题能够尽快地觉醒过来,使中国教育走上培养创新人才的道路。

查看积分策略说明快速回复主题
你的用户名: 密码:   免费注册(只要30秒)


使用个人签名

(请您文明上网理性发言!并遵守相关规定
   



Processed in 0.061086 s, 8 q - 无图精简版,sitemap,