三角形的中位线

三角形的中位线

1．掌握中位线的定义以及中位线定理．
2．综合运用平行四边形的判定及中位线定理解决问题．

自学指导：阅读教材P150～151，完成下列问题．
知识探究
探索一：1.思考：你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗？你是怎么做的？请画出草图．
解：略．
2．如果连接三角形每两边的中点，能得到四个全等的三角形吗？
解：可以．
定义：连接三角形两边的中点叫做三角形的中位线．
探究二：你能猜想出三角形的中位线与第三边有怎样的关系？
解：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
自学反馈
如图，点E，F，H分别是△ABC三边上的中点，则有：

(1)△ABC的中位线有EF，HF，HE；
(2)HF∥AB，HF＝AE＝EB＝AB；
(3)HE∥BC，HE＝BF＝CF＝BC；
(4)EF∥AC，EF＝HC＝AH＝AC．

活动1　小组讨论
例1　如图，DE是△ABC的中位线．求证：DE∥BC，DE＝BC.

证明：延长DE到F，使FE＝DE，连接CF.
在△ADE和△CFE中，
∵AE＝CE，∠1＝∠2，DE＝FE，
∴△ADE≌△CFE.
∴∠A＝∠ECF，AD＝CF.
∴CF∥AB.
∵BD＝AD，∴CF＝BD.
∴四边形DBCF是平行四边形．
∴DF∥BC，DF＝BC.
∴DE∥BC，DE＝BC.
例2　如图，顺次连接四边形ABCD各边中点E，F，G，H，得到的四边形EFGH是平行四边形吗？为什么？

解：四边形EFGH是平行四边形．
理由：连接AC.
∵EF是△ABC的中位线，
∴EF＝AC且EF∥AC.
同理，GH＝AC且GH∥AC.
∴EF∥GH且EF＝GH.
∴四边形EFGH为平行四边形．
活动2　跟踪训练
1．如图，在△ABC中，D，E分别为AC，BC的中点，AF平分∠CAB，交DE于点F.若DF＝3，则AC的长为(C)
A.　　　　B．3　　　　C．6　　　　D．9

2．如图，C，D分别为EA，EB的中点，∠E＝30°，∠1＝110°，则∠2的度数为(A)
A．80° B．90° C．100° D．110°

3．如图所示，在四边形ABCD中，AC＝BD，E，F分别为AB，CD的中点，AC与BD交于点O，EF分别交AC，BD于M，N.求证：∠ONM＝∠OMN.

证明：取AD的中点P，连接EP，FP，则EP为△ABD的中位线．
∴EP∥BD，EP＝BD.
∴∠PEF＝∠ONM.
同理可知PF为△ADC的中位线，
∴FP∥AC，FP＝AC.
∴∠PFE＝∠OMN.
∵AC＝BD，
∴PE＝PF.
∴∠PEF＝∠PFE.
∴∠ONM＝∠OMN.
　在三角形中，若已知一边的中点，常取其余两边的中点，以便利用三角形的中位线定理来解题．

4．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，E为AB的中点，在AB的延长线上取一点D，使BD＝AB，求证：CD＝2CE.

证明：取AC的中点F，连接BF.
∵BD＝AB，
∴BF为△ADC的中位线．
∴DC＝2BF.
∵E为AB的中点，AB＝AC，
∴BE＝CF，∠ABC＝∠ACB.
∵BC＝CB，∴△EBC≌△FCB.
∴CE＝BF.∴CD＝2CE.
　恰当地构造三角形中位线是解决线段倍分关系的关键．
活动3　课堂小结
1．熟记三角形中位线的概念：连接三角形两边的中点的线段叫做三角形的中位线．
2．理解并掌握三角形中位线的性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半．
3．能应用三角形中位线的性质解决有关问题.

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