运筹帷幄之中 善数不用筹策——十进位值制与算筹记数[下载]

记数和计算是数学最基础的内容。中国是世界上数学最发达的国家之一，数字在中国最早出现是在新石器时代晚期，距今大约6000年。在这之前，我们的祖先采用结绳、契木等办法来表示数的概念，即所谓“结绳记事”“契木为文”。其实，后来甲骨文中的“数”字就取自结绳的形象。契木或其他形式的刻画记数是数字产生的基础。当人们可以通过某种规则的刻画来表达数字的时候，数字就自然而然产生了。根据现有的资料来看，最迟在仰韶文化半坡时代，我国已经有了可以称得上数字的刻画符号。
从现已发现的3000多年前的商代陶文和甲骨文中，我们可以看到当时人们已经能够用“一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、万”13个记数文字，表示十万以内的任何自然数了。这些记数文字的形状，在后世虽有所变化最终成为现在的写法，但记数方法却从没有改变和中断，一直沿袭至今并日趋完善。如果将数的单位十、 百、千、万和连接符号省去，则成为十进位值制的形式。十进位值制的记数法是古代世界中最先进、科学的记数法，对世界科学和文化的发展有着不可估量的作用。
十进位值制包括十进位和位值制两条原则。“十进位”即不同数位间满十进一；“位值制”则是不同数位上的相同数值用同一个数字符号表示，符号的位置非常重要。如3位数“111”如在十进制下，右边的“1”在个位上表示1个1，中间的“1”在十位上就表示1个10，左边的“1”在百位上则表示1个100。这样，就使整数表示和演算变得简便易行。
正如李约瑟所说的：“如果没有这种十进位值制，就不可能出现我们现在这个统一化的世界了。”
中国早期比较普遍而又典型的十进位值制记数法是算筹记数法。算筹本身非常简单，就是长条形小棍。材质可能是竹、木、金属、骨头乃至象牙，但主要是竹和木，尤以竹质为多，所以表示算筹的字往往从“竹”，如算、筭、筹、策，等等。1954年，在湖南左家公山的楚国墓葬里出土了40根战国时的竹算筹，是已知最早的算筹实物。此后，在陕西千阳县等地还出土了骨制、铅制、象牙制等不同材质的古代算筹。
古代用算筹排列成基本数字一至九，有纵横两种形式。《孙子算经》中有押韵的顺口溜：“凡算之法，先识其位。一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当。”是说个位数用纵式、十位数用横式、百位用纵式、千位用横式、万位用纵式，依此类推，交替使用纵横两式。遇到零，算筹记法是不放算筹，以空位表示。中国的零用空位先用框“□”表示，以后演变为圈“○”，同印度—阿拉伯数字中的“0”类似。但是，中国的零并非从印度传入。
《汉书·律历志》称：“其算法用竹，径一分，长六寸，二百七十一枚而成六觚，为一握。”这里的“算”是名词，它指的是一种古老的计算工具——算筹。几千年里，它是中国古人最常用的计算工具，有人认为，“策”字代表的是手握一束算筹，开展算计谋划的形象。直到元代以后算盘全面普及，算筹才逐渐退出了历史舞台，筹算演变为珠算。
有趣的是，中国的成语中也有算筹和筹算。“运筹帷幄”出自司马迁《史记·张良传》，是说张良带兵打仗，夜宿帐篷之中，还在案桌上摆弄算筹，计算兵力、辎重、粮草、行军路程等，夸张良“运筹策帷幄之中，决胜于千里之外”。而老子《道德经》称“善数不用筹策”，这是夸精通数学的人，可以不用算筹进行计算，用心算即可，后引申为“算计”的意思。
总之，在十进位值制记数基础上，用算筹摆成数字进行计算称之为筹算。所以“算术”的原意是指筹算的技术。这是中国数学特有的名称，这一名称恰当地概括了中国数学依赖于算筹，且以算为中心的特点。从一定意义上说，中国古代数学史就是中国筹算史。